Question

【題目】如圖所示，二次函數的圖像（記為拋物線）與y軸交于點C，與x軸分別交于點A、B，點A、B的橫坐標分別記為，，且．

（1）若，，且過點，求該二次函數的表達式；

（2）若關于x的一元二次方程的判別式．求證：當時，二次函數的圖像與x軸沒有交點．

（3）若，點P的坐標為，過點P作直線l垂直于y軸，且拋物線的頂點在直線l上，連接OP、AP、BP，PA的延長線與拋物線交于點D，若，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據題意，把，，點，代入解析式，即可求出解析式；

（2）利用根的判別式進行判斷，即可得到結論；

（3）根據二次函數的性質，得到，結合根與系數的關系，得到，然后證明，得到，然后得到，利用二次根式的性質即可得到答案．

解：（1）由題意得：，

∵函數過點，

∴，

∴，

∴．

（2）由題意，一元二次方程的判別式．

∴，

∴，

在函數中，

∵，

∴，

即函數圖象與x軸沒有交點．

（3）因為函數頂點在直線l上，則有，

即①

∵，

∴，

即，

∴，

由①得：②

∵，

∴

∵，

∴，

則．

∴，

∴，

∴．

∴，

∴．

由②得：，

∴，

∴當時，．