Question

【題目】某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型：

直線l同旁有兩個定點A、B，在直線上存在點P，使得PA＋PB的值最小．解法：如圖1，作點A關于直線的對稱點，連接，則與直線l的交點即為P，且PA＋PB的最小值為．

請利用上述模型解決下列問題：

（1）幾何應用：如圖2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中點，P是BC邊上的一動點，則PA＋PE的最小值為 ；

（2）代數應用：求代數式＋ (0≤x≤3)的最小值．

（3）幾何拓展：如圖3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，若在AB、AC上各取一點M、N使BM＋MN的值最小，最小值是 ；

Answer 1

【答案】（1）.（2）5.（3）.

【解析】

（1）根據軸對稱-最短路線問題解答；

（2）作點A關于BC的對稱點D，連接ED交BC于P，則PA+PE的值最小，連接BD，根據勾股定理求出DE即可．

（3）設點B關于AC的對稱點為B′，根據垂線段最短及兩點之間，線段最短可知當B′、M、N三點共線且B′N⊥AB時BM+MN的值最小．

（1）

如圖，PA＋PE的最小值為A’E的長度

作EF⊥AC，∵E是AB的中點

∴EF= ,

∴ .

(2)構造圖形如圖所示，

其中：AB＝3，AC＝1，DB＝3，AP＝x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．

∵PC＋PD＝＋，

∴所求的最小值就是求PC＋PD的最小值．

作點C關于AB的對稱點C'，過C' 作C' E垂直DB的延長線于E．

則C' E＝AB＝3，DE＝3＋1＝4，C' D＝＝5

∴所求代數式的最小值是5．

(3)作點B關于AC的對稱點B′，過B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．

此時BM+MN的值最小．BM+MN=B′N．

理由：如圖1，在AC上任取一點M1（不與點M重合），

在AB上任取一點N1，連接B′M1、BM1、M1N1、B′N1．

∵點B′與點B關于AC對稱，

∴BM1=B′M1，

∴BM1+M1N1=B′M1+M1N1＞B′N1．

又∵B′N1＞B′N，BM+MN=B′N，

∴BM1+M1N1＞BM+MN．

計算：如圖2

∵點B′與點B關于AC對稱，

∴AB′=AB，

又∵∠BAC=30°，

∴∠B′AB=60°，

∴△B′AB是等邊三角形．

∴B′B=AB=2，∠B′BN=60°．

又∵B′N⊥AB，

∴B′N=B′Bsin60°= ．

∴BM+MN的最小值是.