Question

【題目】已知，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使PA+PC的值最小？如果存在，請求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）設點M在拋物線的對稱軸上，當△MAC是直角三角形時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當的值最小時，點P的坐標為；（3）點M的坐標為、、或.

【解析】

由點A、C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時取最小值，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標，由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，利用配方法可求出拋物線的對稱軸，再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標；

設點M的坐標為，則，，，分、和三種情況，利用勾股定理可得出關于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，進而即可得出點M的坐標．

解：將、代入中，

得：，解得：，

拋物線的解析式為．

連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時取最小值，如圖1所示．

當時，有，

解得：，，

點B的坐標為．

拋物線的解析式為，

拋物線的對稱軸為直線．

設直線BC的解析式為，

將、代入中，

得：，解得：，

直線BC的解析式為．

當時，，

當的值最小時，點P的坐標為．

設點M的坐標為，

則，，．

分三種情況考慮：

當時，有，即，

解得：，，

點M的坐標為或；

當時，有，即，

解得：，

點M的坐標為；

當時，有，即，

解得：，

點M的坐標為

綜上所述：當是直角三角形時，點M的坐標為、、或