Question

【題目】已知一次函數y＝﹣x+m的圖象與反比例函數的圖象交于A、B兩（點A在點B的左側），點P為x軸上一動點，當有且只有一個點P，使得∠APB＝90°，則m的值為_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

根據題意以AB為直徑是圓與x軸相切于點P，根據直線的解析式即可證得△COD是等腰直角三角形，進而求得AB＝m，根據平行線分線段成比例定理求得MC＝BM＝m，即可求得B點的坐標，根據反比例函數圖象上點的坐標特征得出m＝2，解方程求得即可．

設直線y＝﹣x+m交x、y軸分別為C、D，

∴OD＝OC＝m，

∴△COD是等腰三角形，CD＝ m，

∴∠OCD＝45°，

∵點P為x軸上一動點，有且只有一個點P，使得∠APB＝90°，

∴以AB為直徑是圓與x軸相切于點P，

設AB的中點為I，

∴IP⊥x軸，IA＝IC＝m，

∵I是CD的中點，

∴IP＝OD＝m，

∴IB＝m，

∴BC＝IC﹣IB＝m，

∵BM∥IP，

∴，即

∴BM＝m

∵△BMC是等腰直角三角形，

∴MC＝BM＝m，

∴OM＝m﹣m＝m，

∴B（，m），

∵點B在反比例函數y＝的圖象上，

∴m＝2

解得m＝4或m＝﹣4（舍去），

故答案為4．