Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-4，4），點B的坐標為（0，2）．

（1）求直線AB的解析式；

（2）以點A為直角頂點作∠CAD=90°，射線AC交x軸的負半軸于點C，射線AD交y軸的負半軸于點D．當∠CAD繞著點A旋轉時，OC-OD的值是否發生變化？若不變，求出它的值；若變化，求出它的變化范圍；

（3）如圖2，點M（-4，0）和N（2，0）是x軸上的兩個點，點P是直線AB上一點．當△PMN是直角三角形時，請求出滿足條件的所有點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的解析式為：y=-x+2；（2）（2）不變．理由見解析；（3）點P的坐標為（-4，4）或（2，1）或（-，+2）或（，-+2）．

【解析】

（1）設直線AB解析式為y=kx+b，把A與B坐標代入列出方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可確定出直線AB解析式；

（2）當∠CAD繞著點A旋轉時，OC-OD的值不變，理由為：過A作AE垂直于x軸，AF垂直于y軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，求出A的坐標得到AE=AF，再由已知直角相等，利用ASA得到三角形AEC與三角形AFD全等，利用全等三角形對應邊相等得到EC=FD，進而求出OC-OD的值即可；

（3）分三種情況考慮：①當M為直角頂點時；②N為直角頂點時；③P為直角頂點時；分別求出P坐標即可．

（1）設直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），

∵點A（-4，4），點B（0，2）在直線AB上，

∴，

解得：．

∴直線AB的解析式為：y=-x+2；

（2）不變．理由如下：

過點A分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為E，F（如答圖1），可得∠AEC=∠AFD=90°，

又∵∠BOC=90°，

∴∠EAF=90°，即∠DAE+∠DAF=90°，

∵∠CAD=90°，即∠DAE+∠CAE=90°，

∴∠CAE=∠DAF，

∵A（-4，4），

∴OE=AF=AE=OF=4，

在△AEC和△AFD中，

，

∴△AEC≌△AFD（ASA），

∴EC=FD，

∴OC-OD=（OE+EC）-（FD-OF）=OE+OF=8，

則OC-OD的值不發生變化，值為8；

（3）①當M為直角頂點時，點P的橫坐標為-4，

∵點P在直線AB上，

將x=-4代入y=-x+2得，y=4，

∴點P的坐標為P（-4，4）；

②當N為直角頂點時，點P的橫坐標為2，

∵點P在直線AB上，

將x=2代入y=-x+2得，y=1，

∴點P的坐標為P（2，1）；

③當P為直角頂點時，

∵點P在直線AB上，可設點P的坐標為（x，-x+2），

則MP2=（x+4）2+（-x+2）2，NP2=（x-2）2+（-x+2）2，

在Rt△PMN中，MP2+NP2=MN2，MN=6，

∴（x+4）2+（-x+2）2+（x-2）2+（-x+2）2=62，

解得：x1=-，x2=，

∴P（-，+2）或（，-+2），

綜上所述，滿足條件的所有點P的坐標為（-4，4）或（2，1）或（-，+2）或（，-+2）．