Question

【題目】已知一次函數y1＝kx+n（n＜0）和反比例函數y2＝（m＞0，x＞0）．

（1）如圖1，若n＝﹣2，且函數y1、y2的圖象都經過點A（3，4）．

①求m，k的值；

②直接寫出當y1＞y2時x的范圍；

（2）如圖2，過點P（1，0）作y軸的平行線l與函數y2的圖象相交于點B，與反比例函數y3＝（x＞0）的圖象相交于點C．

①若k＝2，直線l與函數y1的圖象相交點D．當點B、C、D中的一點到另外兩點的距離相等時，求m﹣n的值；

②過點B作x軸的平行線與函數y1的圖象相交于點E．當m﹣n的值取不大于1的任意實數時，點B、C間的距離與點B、E間的距離之和d始終是一個定值．求此時k的值及定值d．

Answer 1

【答案】（1）①m=12；k=2；②x＞3；（2）①m﹣n＝1或4或2；②k＝1，d＝1．

【解析】

（1）①將點A的坐標代入一次函數表達式即可得出k的值，將點A的坐標代入反比例函數表達式即可得出m的值；②由圖象可以直接得出結果；
（2）①當x＝1時，點D、B、C的坐標分別為（1，2+n）、（1，m）、（1，n），則BD=|2+n-m|，BC=m-n，DC=2+n-n=2，由BD=BC或BD=DC或BC=CD，即可求解；②先得出點E的坐標為，當點E在點B左側時，d=BC+BE=m-n+=1+（m-n）（1-），由1-=0即可求解；當點E在點B右側時，同理BC+BE＝（m﹣n）（1+）﹣1，不合題意舍去．

解：（1）①當n=-2時，一次函數為y1=kx-2，

將點A的坐標（3，4）代入一次函數表達式得，4=3k-2，解得k＝2，

將點A的坐標（3，4）代入反比例函數y2＝得，m＝3×4＝12；

②由圖象可以看出x＞3時，y1＞y2；

（2）①由k=2，則y1=2x+n，

當x＝1時，點D、B、C的坐標分別為（1，2+n）、（1，m）、（1，n），

則BD＝|2+n﹣m|，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2，

則BD＝BC或BD＝DC或BC＝CD，

即：|2+n﹣m|＝m﹣n或|2+n﹣m|＝2或m﹣n＝2，

即：m﹣n＝1或0或2或4，

當m﹣n＝0時，m＝n與題意不符，

點D不能在C的下方，即BC＝CD也不存在，n+2＞n，

當B、D重合時，m﹣n＝2成立，

故m﹣n＝1或4或2；

②∵點E的縱坐標與點B的縱坐標相等為m，

y1＝kx+n中令y1=m得，點E的橫坐標為，

當點E在點B左側時，

d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），

m﹣n的值取不大于1的任意數時，d始終是一個定值，

當1﹣＝0時，此時k＝1，從而d＝1．

當點E在點B右側時，

同理d＝BC+BE＝（m﹣n）（1+）﹣1，

當1+＝0，k＝﹣1時，（不合題意舍去）

故k＝1，d＝1．