Question

【題目】如圖1，在矩形中，，動點，分別從點，點同時以每秒1個單位長度的速度出發，且分別在邊上沿，的方向運動，當點運動到點時，兩點同時停止運動，設點運動的時間為，連接，過點作，與邊相交于點，連接．

（1）如圖2，當時，延長交邊于點．求證：；

（2）在（1）的條件下，試探究線段三者之間的等量關系，并加以證明；

（3）如圖3，當時，延長交邊于點，連接，若平分，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）．

【解析】

（1）先根據運動速度和時間求出，再根據勾股定理可得，從而可得，然后根據矩形的性質可得，從而可得，，最后根據三角形全等的判定定理與性質即可得證；

（2）如圖（見解析），連接FQ，先根據（1）三角形全等的性質可得，再根據垂直平分線的判定與性質可得，然后根據勾股定理、等量代換即可得證；

（3）先根據角平分線的性質得出，再根據直角三角形全等的判定定理與性質得出，然后根據等腰三角形的三線合一得出，又分別在和中，利用余弦三角函數可求出t的值，從而可得CP、AP的長，最后根據平行線分線段成比例定理即可得．

（1）由題意得：

四邊形ABCD是矩形

，

在和中，

；

（2），證明如下：

如圖，連接FQ

由（1）已證：

PQ是線段EF的垂直平分線

在中，由勾股定理得：

則；

（3）如圖，設FQ與AC的交點為點O

由題意得：，，

平分，

（角平分線的性質）

是等腰三角形

在和中，

，即是的角平分線

（等腰三角形的三線合一）

在中，

在中，，即

解得

，即

故的值為．