Question

【題目】如圖所示，拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點M為拋物線的頂點．

（1）求點C及頂點M的坐標．

（2）若點N是第四象限內拋物線上的一個動點，連接求面積的最大值及此時點N的坐標．

（3）若點D是拋物線對稱軸上的動點，點G是拋物線上的動點，是否存在以點B、C、D、G為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出點G的坐標；若不存在，試說明理由．

（4）直線CM交x軸于點E，若點P是線段EM上的一個動點，是否存在以點P、E、O為頂點的三角形與相似．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (0,-3)，(1,-4)；(2) ，()；(3) G點坐標存在，為(2，-3)或(4，5)或(-2，5)；(4) P點坐標存在，為或．

【解析】

(1)令拋物線解析式中x=0即可求出C點坐標，由公式即可求出頂點M坐標；

(2)如下圖所示，過N點作x軸的垂線交直線BC于Q點，設N()，求出BC解析式，進而得到Q點坐標，最后根據即可求解；

(3)設D點坐標為(1,t)，G點坐標為()，然后分成①DG是對角線；②DB是對角線；③DC是對角線時三種情況進行討論即可求解；

(4)連接AC，由CE=CB可知∠B=∠E，求出MC的解析式，設P(x,-x-3)，然后根據△PEO相似△ABC，分成和討論即可求解.

解：(1)令中x=0，此時y=-3，故C點坐標為(0,-3)，

又二次函數的頂點坐標為，代入數據解得M點坐標為，

故答案為：C點坐標為(0，-3)， M點坐標為(1，-4)；

(2) 過N點作x軸的垂線交直線BC于Q點，連接BN，CN，如下圖所示：

令中y=0，解得B(3,0)，A(-1,0)，

設直線BC的解析式為：，代入C(0,-3)，B(3,0)，

∴，解得，即直線BC的解析式為：，

設N點坐標為()，故Q點坐標為，其中，

則

，其中分別表示Q,C,B三點的橫坐標，

且，，

故，其中，

當時，有最大值為，

此時N的坐標為()，

故答案為：有最大值為，N的坐標為()；

(3) 設D點坐標為(1,t)，G點坐標為()，且B(3,0)，C(0,-3)

分類討論：

情況①：當DG為對角線時，則另一對角線是BC，由中點坐標公式可知：

線段DG的中點坐標為，即，

線段BC的中點坐標為，即，

此時DG的中點與BC的中點為同一個點，

故，解得，

檢驗此時四邊形DCGB為平行四邊形，此時G坐標為(2，-3)；

情況②：當DB為對角線時，則另一對角線是GC，由中點坐標公式可知：

線段DB的中點坐標為，即，

線段GC的中點坐標為，即，

此時DB的中點與GC的中點為同一個點，

故，解得，

檢驗此時四邊形DCBG為平行四邊形，此時G坐標為(4，5)；

情況③：當DC為對角線時，則另一對角線是GB，由中點坐標公式可知：

線段DC的中點坐標為，即，

線段GB的中點坐標為，即，

此時DB的中點與GC的中點為同一個點，

故，解得，

檢驗此時四邊形DGCB為平行四邊形，此時G坐標為(-2，5)；

綜上所述，G點坐標存在，為(2，-3)或(4，5)或(-2，5)；

(4) 連接AC，OP，如下圖所示，

設MC的解析式為：y=kx+m，代入C(0,-3)，M(1，-4)

即，解得

∴MC的解析式為：，令，求得E點坐標為(-3,0)，

∴OE=OB=3，且OC=OC，

∴CE=CB，即∠B=∠E，

設P(x,-x-3)，又∵P點在線段EC上，∴-3<x<0，

則，，

由題意知：△PEO相似△ABC，

分類討論：

情況①：

∴，解得，滿足-3<x<0，此時P的坐標為；

情況②：

∴，解得，滿足-3<x<0，此時P的坐標為．

綜上所述，P點的坐標為或．