Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處，分別以OC，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，拋物線y=ax2+bx+c經過O，D，C三點.

（1）求AD的長及拋物線的解析式；
（2）一動點P從點E出發，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒，當t為何值時，以P，Q，C為頂點的三角形與ADE相似？
（3）點N在拋物線對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCO為矩形，

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．

由題意，得△BDC≌△EDC．

∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．

由勾股定理易得EO=6．

∴AE=10﹣6=4，

設AD=x，則BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．

∵拋物線y=ax2+bx+c過點D（3，10），C（8，0），O（0,0,）

∴ 解得 ∴拋物線的解析式為：y= x2+ x．

（2）

∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．

而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．

當∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC， ∴ ，即 ， 解得t= ． 當∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC， ∴ ，即 ， 解得t= ． ∴當t= 或 時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似．

（3）

解：假設存在符合條件的M、N點，分兩種情況討論：①EC為平行四邊形的對角線，由于拋物線的對稱軸經過EC中點，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點必為拋物線頂點； 則：M（4， ）；而平行四邊形的對角線互相平分，那么線段MN必被EC中點（4，3）平分，則N（4， ）； ②EC為平行四邊形的邊，則EC//MN，EC =MN，設N（4，m），則M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）； 將M（﹣4，m+6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣38，此時 N（4，﹣38）、

M（﹣4，﹣32）；

將M（12，m﹣6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣26，此時 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；

綜上，存在符合條件的M、N點，且它們的坐標為： ①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38） ②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26） ③M3（4， ），N3（4， ）．

【解析】（1）根據折疊性質得EC=BC，從而可解出OE，設AD=x，則ED=8-x，由勾股定理可得AD2+AE2=ED2 ， 構造方程解出x的值，從而可得D的坐標，將D的坐標，C的坐標，O的坐標代入拋物線可求出；（2）易求得∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．可設CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．分類討論：當∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，與當∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC；分別寫出邊的關系，可求出t；（3）分類討論：①EC為平行四邊形的對角線，由于拋物線的對稱軸經過EC中點，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點必為拋物線頂點；從而可求出點M的坐標；②EC為平行四邊形的邊，則EC//MN，EC =MN，設N（4，m），根據E到C的平移關系與M、N的平移關系相同，可得M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；將點M代入拋物線解析式，從而解出m的值.
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．