Question

【題目】在等邊三角形ABC中，E為直線AB上一點，連接EC．ED與直線BC交于點D，ED＝EC．

（1）如圖1，AB＝1，點E是AB的中點，求BD的長；

（2）點E是AB邊上任意一點（不與AB邊的中點和端點重合），依題意，將圖2補全，判斷AE與BD間的數量關系并證明；

（3）點E不在線段AB上，請在圖3中畫出符合條件的一個圖形．

Answer 1

【答案】（1）BD＝；（2）圖2補全見解析，DB＝AE成立；理由見解析；（3）如圖3所示．見解析.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到∠BCE＝∠ACB＝30°，根據等腰三角形的性質得到∠D＝∠BCE＝30°，于是得到結論；

（2）過點E作EF∥BC，交AC于F，先證明△AEF是等邊三角形，得出AE＝EF，再證明△DBE≌△EFC，得出DB＝EF，即可證出AE＝DB；

（3）根據題意作出圖形即可．

（1）∵△ABC是等邊三角形，點E是AB的中點，

∴∠BCE＝∠ACB＝30°，

∵ED＝EC，

∴∠D＝∠BCE＝30°，

∵∠ABC＝∠D+∠DEB＝60°，

∴∠DEB＝∠D＝30°，

∴BD＝BE＝AB＝；

（2）DB＝AE成立；理由如下：

如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于F，則∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠CEF＝∠ECD，

∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠A＝∠AEF＝∠AFE＝60°，

∠DBE＝120°，

∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝EF，∠EFC＝120°，

∴BE＝CF，∠DBE＝∠EFC，

∵ED＝EC，

∴∠D＝∠ECD，

∴∠D＝∠CEF，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE≌△EFC（AAS），

∴DB＝EF，

∴AE＝DB；

（3）如圖3所示．