Question

【題目】如圖，直角△ABC內接于⊙O，點D是直角△ABC斜邊AB上的一點，過點D作AB的垂線交AC于E，過點C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延長線于點P，連結PO交⊙O于點F．

（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若PC=3，PF=1，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接OC，

∵PD⊥AB，

∴∠ADE=90°，

∵∠ECP=∠AED，

又∵∠EAD=∠ACO，

∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°，

∴PC⊥OC，

∴PC是⊙O切線

（2）解：解法一：

延長PO交圓于G點，

∵PF×PG=PC2，PC=3，PF=1，

∴PG=9，

∴FG=9﹣1=8，

∴AB=FG=8．

解法二：

設⊙O的半徑為x，則OC=x，OP=1+x

∵PC=3，且OC⊥PC

∴32+x2=（1+x）2

解得x=4

∴AB=2x=8

【解析】（1）連接OC，欲證明PC是⊙O的切線，只要證明PC⊥OC即可．（2）延長PO交圓于G點，由切割線定理求出PG即可解決問題．