Question

【題目】點O為直線AB上一點，在直線AB上側任作一個∠COD，使得∠COD=90°．

（1）如圖1，過點O作射線OE，當OE恰好為∠AOD的角平分線時，請直接寫出∠BOD與∠COE之間的倍數關系，即∠BOD= ______ ∠COE（填一個數字）；

（2）如圖2，過點O作射線OE，當OC恰好為∠AOE的角平分線時，另作射線OF，使得OF平分∠COD，求∠FOB+∠EOC的度數；

（3）在（2）的條件下，若∠EOC=3∠EOF，求∠AOE的度數．

Answer 1

【答案】(1)2;(2) 135°；(3)67.5°.

【解析】試題分析：

（1）由題意可得∠AOC=90°-∠BOD；∠AOE=∠AOD；∠AOD=180°-∠BOD；把上述三個關系式代入∠COE=∠AOE-∠AOC中化簡即可得到∠COE=∠BOD，從而可得出∠BOD=2∠COE；

（2）由OC為∠AOE的角平分線，OF平分∠COD可得：∠AOC=∠COE，∠DOF=∠COF=45°；結合∠BOD+∠AOC=90°，∠EOC+∠FOB=∠EOC+∠FOD+∠BOD即可求得∠EOC+∠FOB的度數；

（3）如備用圖，設∠EOF= ，則∠EOC=，結合（2）可得∠AOE=2∠EOC=，∠COF==45°，由此即可解得∠AOE=67.5°.

試題解析：

（1）∠BOD=2∠COE；理由如下：

∵∠COD=90°．

∴∠BOD+∠AOC=90°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOE=∠DOE=∠AOD，

又∵∠BOD=180°-∠AOD，

∴∠COE=∠AOE-∠AOC=∠AOD-（90°-∠BOD）=（180°-∠BOD）-90°+∠BOD=∠BOD，

∴∠BOD=2∠COE；

（2）∵OC為∠AOE的角平分線，OF平分∠COD，

∴∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，

∴∠FOB+∠EOC=∠DOF+∠BOD+∠AOC=45°+90°=135°；

（3）如備用圖：∵∠EOC=3∠EOF，

∴設∠EOF=x，則∠EOC=3x，

∴∠COF=4x，

∴結合（2）可得：∠AOE=2∠COE=6x，∠COF=4x=45°，

解得：x=11.25°，

∴∠AOE=6×11.25°=67.5°．