Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．

（1）求拋物線的函數表達式；（2）點D為直線AC上方拋物線上一動點，

①連接BC、CD、BD，設BD交直線AC于點E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2．求：的最大值；

②如圖2，是否存在點D，使得∠DCA＝2∠BAC？若存在，直接寫出點D的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當時，的最大值是；②點D的坐標是

【解析】

（1）根據題意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-x2+bx+c，于是得到結論；

（2）①如圖，令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得B（1，0），過D作DM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸交于AC于N，根據相似三角形的性質即可得到結論；

②根據勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點P，求得P（-，0），得到PA=PC=PB=，過D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延線于G，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，解直角三角形即可得到結論．

解：（1）根據題意得A（-4，0），C（0，2），

∵拋物線y=-x2+bx+c經過A．C兩點，

∴，

∴，

拋物線解析式為： ;

（2）①令，

∴

解得： ,

∴B（1，0）

過點D作軸交AC于M，過點B作軸交AC于點N，

∴∥

∴

∴

設：

∴

∵

∴

∴

∴當時，的最大值是 ;

②∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），

∴AC=2，BC=，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，

取AB的中點P，

∴P（-，0），

∴PA=PC=PB=，

∴∠CPO=2∠BAC，

∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，

過D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長線于G，如圖，

∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，

∴∠CDG=∠BAC，

∴tan∠CDG=tan∠BAC=，

即RC：DR=，

令D（a，-a2-a+2），

∴DR=-a，RC=-a2-a，

∴（-a2-a）：（-a）=1：2，

∴a1=0（舍去），a2=-2，

∴xD=-2，

∴-a2-a+2=3,

∴點D的坐標是