Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分線交AB于E，交BC于M，AC的垂直平分線交AC于F，交BC于N．連接AM、AN．

（1）求∠MAN的大小；

（2）求證：BM=CN．

Answer 1

【答案】（1）∠MAN=60°；（2）見解析．

【解析】

（1）由在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，可求得∠B與∠C的度數，又由AB的垂直平分線交AB于E，交BC于M；可得AM=BM，繼而求得∠MAB的度數，則可求得∠AMN的度數，同樣方法得出∠ANM的度數，繼而求得答案；
（2）先得△AMN為等邊三角形，則可得AM=AN=MN，又由BM=AM，CN=AN，即可證得結論．

（1）解：∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵直線ME垂直平分AB，
∴BM=AM，
∴∠B=∠MAB=30°，
∴∠AMN=∠B+∠MAB=60°，
同理可得：∠ANM=60°．
∴∠MAN=180°-60°-60°=60°；
（2）證明：∵在△AMN中，∠AMN=∠ANM=∠MAN=60°，
∴△AMN為等邊三角形．
即AM=AN=MN，
又∵BM=AM，CN=AN，
∴BM=CN．