Question

【題目】已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直線CP不過點A，B，且不平分∠ACB，點B關于直線CP的對稱點為E，直線AE交直線CP于點F．

（1）如圖1，直線CP與線段AB相交，若∠PCB＝25°，求∠CAF的度數；

（2）如圖1，當直線CP繞點C旋轉時，記∠PCB＝α（0°＜α＜90°，且α≠45°）．

①∠FEB的大小是否改變，若不變，求出∠FEB的度數；若改變，請用含α的式子表示）．

②找出線段AF，EF，BC的數量關系，并給出證明．

（3）如圖2，當直線CP在△ABC外側，且0°＜∠ACP＜45°時．若BC＝5，EF＝8，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）∠CAF＝70°；（2）①∠FEB的大小不變，都是45°；②AF2+EF2＝2BC2，理由見解析；（3）CF＝

【解析】

（1）如圖1，根據軸對稱的性質得：CB＝CE，∠ECP＝∠PCB＝25°，由等邊對等角和三角形內角和可得結論；

（2）①存在兩種情況：當P在直線BC的上方時，根據CB＝CE，CP⊥BE，得∠PCB＝∠ECP＝α，計算∠AEC＝45°+α，∠CEB＝90°﹣α，根據角的和可得∠AEB＝135°，最后由平角的定義得結論；

當P在直線BC的下方時，同得可得∠FEB的度數是45°；

②連接FB，證明∠AFB＝90°，根據勾股定理可得結論；

（3）連接BF，過C作CH⊥AE，同（2）可得：∠EFC＝45°，AF2+EF2＝2BC2，根據△ACE是等腰三角形和勾股定理可計算CF的長．

解：（1）如圖（1）a，連接CE，

∵B、E關于CP對稱，

∴CB＝CE，∠ECP＝∠PCB＝25°，

∵CB＝CA，

∴CE＝CA，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝40°，

∴∠CAF＝70°；

（2）①如圖（1），∠FEB的大小不變，

當PC在CB的上方時，如圖（1）a，

∵∠PCB＝α，則∠ECP＝α，

∴∠ACE＝90°﹣2α，∠AEC＝45°+α，∠CEB＝90°﹣α，

∴∠AEB＝135°

∴∠FEB＝45°；

當PC在CB的下方時，如圖（1）b，連接CE，

∵∠PCB＝∠ECP＝α，

∴∠ACE＝90°+2α，∠AEC＝45°﹣α，∠CEB＝90°﹣α，

∴∠AEB＝∠FEB＝∠CEB﹣∠AEC＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°，

綜上，∠FEB的大小不變，都是45°；

②AF2+EF2＝2BC2，理由是：

連接FB，

∵點B關于直線CP的對稱點為E，∠FEB＝∠FBE＝45°，

∴∠AFB＝90°，

∴AF2+FB2＝AB2，

∵AB2＝2BC2，EF＝BF，

∴AF2+EF2＝2BC2；

（3）連接BF，過C作CH⊥AE，

同（2）：記∠PCB＝α，則∠PCE＝α

∴∠ACP＝α﹣90°

∴∠ACE＝2α﹣90°

∵AC＝CE

∴∠AEC＝＝135°﹣α

∵∠CEB＝α﹣90°

∴∠FEB＝α﹣90°+135°﹣α＝45°

可得：∠EFC＝45°，

∴∠EFC＝∠BFC＝45°

∴∠AFB＝90°

同理得：AF2+EF2＝2BC2，

∵BC＝5，EF＝8，

∴AF＝6，

∴AE＝14，

∵BC＝CE＝AC，

∴AH＝7，

∴FH＝1，

∴CF＝．