Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線經過坐標原點O，點A（6，﹣6 ），且以y軸為對稱軸．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，過點B（0，﹣ ）作x軸的平行線l，點C在直線l上，點D在y軸左側的拋物線上，連接DB，以點D為圓心，以DB為半徑畫圓，⊙D與x軸相交于點M，N（點M在點N的左側），連接CN，當MN=CN時，求銳角∠MNC的度數；

（3）如圖3，在（2）的條件下，平移直線CN經過點A，與拋物線相交于另一點E，過點A作x軸的平行線m，過點（﹣3，0）作y軸的平行線n，直線m與直線n相交于點S，點R在直線n上，點P在EA的延長線上，連接SP，以SP為邊向上作等邊△SPQ，連接RQ，PR，若∠QRS=60°，線段PR的中點K恰好落在拋物線上，求Q點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設過坐標原點O，點A（6，﹣6 ），且以y軸為對稱軸的拋物線為y=ax2，

則﹣6 =36a，

∴a=﹣ ，

∴y=﹣ x2

（2）

解：如圖2中，作CF⊥MN于F，設⊙D與x軸的交點為（x，0），D（m，﹣ m2）．

則有（x﹣m）2+（ m2）2=m2+（﹣ m2+ ）2，

整理得x2﹣2mx+m2﹣3=0，

∴x=m+ 或m﹣ ，

∴N（m+ ，0），M（m﹣ ，0）

∴MN=2 ，

在Rt△CFN中，∵∠CFN=90°，CN=MN=2 ，CF= ，

∴CN=2CF，

∴∠CNF=30°

（3）

解：如圖3中，

由題意可知平移直線CN經過點A的直線的解析式為y= x﹣8 ，

記直線y= x﹣8 與直線x=﹣3的交點為G，則G（﹣3，﹣9 ），

∵m∥x軸，且過點A（6，﹣6 ），

∴S（﹣3，﹣6 ），

∴SG=3 ，AS=9，

∴tan∠2= = ，

∴∠2=60°，

∴∠1=30°，

∵∠QRS=60°

∴∠QRS=∠2，

∵∠RSQ+∠QSP=∠2+∠SPG，∠QSP=∠2=60°，

∴∠3=∠4，

在△SQR和△PSG中，

，

∴△SQR≌△PSH

∴SR=PG，RQ=SG，

∴RQ=SG=3 ，作DQ⊥n于D，

∴QRD=60°，

∴DQ= DR= RQ= ，

∴RD= QR= ，

∵n是過（﹣3，0）與y軸平行的直線，設R（﹣3，b），記n與x軸的交點為M，則RM=b，

∵S（﹣3，﹣6 ），

∴MS=6 ，

∴SR=RM+MS=b+6 =PG，作PH⊥n于H，

∵∠2=60°，

∴GH= PG= （b+6 ），

∴MH=MG﹣HG=9 ﹣ （b+6 ）=6 ﹣ b，

∴P（6+ b， b﹣6 ），

∵K是PR中點，

∴K（ + b， b﹣3 ），

為了方便，記K（x，y），即x= + b，y= b﹣3 ，消去b得y= x﹣ ，

∴中點K在直線y= ﹣ 上運動，

由 消去y得到x2+6x﹣27=0，

∴x=3或﹣9（舍棄），

∴x=3，代入x= + b得到b=2 ，

∴RM=2 ，DM=RM﹣RD=2 ﹣ = ，

∵ ﹣3= ，

∴點Q的坐標為（ ， ）

【解析】（1）設過坐標原點O，點A（6，﹣6 ），且以y軸為對稱軸的拋物線為y=ax2 ， 點A代入求出a即可．（2）如圖2中，作CF⊥MN于F，設⊙D與x軸的交點為（x，0），D（m，﹣ m2），根據半徑相等列出方程，求出M、N坐標，推出MN=2 ，在Rt△CFN中，由CN=2CF推出∠FNC=30°即可解決問題．（3）如圖3中，由題意可知平移直線CN經過點A的直線的解析式為y= x﹣8 ，記直線y= x﹣8 與直線x=﹣3的交點為G，則G（﹣3，﹣9 ），由△SQR≌△PSH，推出SR=PG，RQ=SG，推出RQ=SG=3 ，作DQ⊥n于D，記n與x軸的交點為M，則RM=b，由S（﹣3，﹣6 ），推出MS=6 ，可得P（6+ b， b﹣6 ），再求出PR中點k坐標，證明k在直線y= ﹣ 上運動，由 消去y得到x2+6x﹣27=0，x=3或﹣9（舍棄），x=3，代入x= + b得到b=2 ，由此即可解決問題．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．