Question

【題目】已知如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B、C分別為坐標軸上上的三個點，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）在平面直角坐標系xOy中是否存在一點P，使得以以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點M為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出當|PM﹣AM|的最大值時點M的坐標，并直接寫出|PM﹣AM|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），

∴ ，

解得：a=﹣ ，b=﹣ ，c=3，

∴經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+3

（2）

解：在平面直角坐標系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：

∵OB=3，OC=4，OA=1，

∴BC=AC=5，

當BP平行且等于AC時，四邊形ACBP為菱形，

∴BP=AC=5，且點P到x軸的距離等于OB，

∴點P的坐標為（5，3），

當點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，則當點P的坐標為（5，3）時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形．

（3）

解：設直線PA的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵A（1，0），P（5，3），

∴ ，

解得：k= ，b=﹣ ，

∴直線PA的解析式為y= x﹣ ，

當點M與點P、A不在同一直線上時，根據三角形的三邊關系|PM﹣AM|＜PA，

當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|=PA，

∴當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點，

解方程組 ，得 或 ，

∴點M的坐標為（1，0）或（﹣5，﹣ ）時，|PM﹣AM|的值最大，此時|PM﹣AM|的最大值為5．

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A，B，C三點坐標代入求出a，b，c的值，即可確定出所求拋物線解析式；
　　　　（2）在平面直角坐標系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：根據OA，OB，OC的長，利用勾股定理求出BC與AC的長相等，只有當BP與AC平行且相等時，四邊形ACBP為菱形，可得出BP的長，由OB的長確定出P的縱坐標，確定出P坐標，當點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形；
　　　　（3）利用待定系數法確定出直線PA解析式，當點M與點P、A不在同一直線上時，根據三角形的三邊關系|PM﹣AM|＜PA，當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|=PA，
當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點，聯立直線AP與拋物線解析式，求出當|PM﹣AM|的最大值時M坐標，確定出|PM﹣AM|的最大值即可．此題屬于二次函數綜合題，涉及的知識有：二次函數的性質，待定系數法確定拋物線解析式、一次函數解析式，菱形的判定，以及坐標與圖形性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．