Question

【題目】已知：如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與坐標軸分別交于點A，B（﹣3，0），C（1，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．

（1）求拋物線解析式；

（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積最大？

（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P作PE∥x軸交拋物線于點E，連接DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3 （2）（﹣，） （3）存在，P（﹣2，3）或P（，）

【解析】

（1）用待定系數法求解；（2）過點P作PH⊥x軸于點H，交AB于點F，直線AB解析式為y＝x+3，設P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則F（t，t+3），則PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，根據S△PAB＝S△PAF+S△PBF寫出解析式，再求函數最大值；（3）設P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則D（t，t+3），PD＝﹣t2﹣3t，由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，由對稱軸為直線x＝﹣1，PE∥x軸交拋物線于點E，得yE＝yP，即點E、P關于對稱軸對稱，所以＝﹣1，得xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t，故PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，由△PDE為等腰直角三角形，∠DPE＝90°，得PD＝PE，再分情況討論：①當﹣3＜t≤﹣1時，PE＝﹣2﹣2t；②當﹣1＜t＜0時，PE＝2+2t

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點B（﹣3，0），C（1，0）

∴ 解得：

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3

（2）過點P作PH⊥x軸于點H，交AB于點F

∵x＝0時，y＝﹣x2﹣2x+3＝3

∴A（0，3）

∴直線AB解析式為y＝x+3

∵點P在線段AB上方拋物線上

∴設P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）

∴F（t，t+3）

∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t

∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PFOH+PFBH＝PFOB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+

∴點P運動到坐標為（﹣，），△PAB面積最大

（3）存在點P使△PDE為等腰直角三角形

設P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則D（t，t+3）

∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t

∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4

∴對稱軸為直線x＝﹣1

∵PE∥x軸交拋物線于點E

∴yE＝yP，即點E、P關于對稱軸對稱

∴＝﹣1

∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t

∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|

∵△PDE為等腰直角三角形，∠DPE＝90°

∴PD＝PE

①當﹣3＜t≤﹣1時，PE＝﹣2﹣2t

∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t

解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2

∴P（﹣2，3）

②當﹣1＜t＜0時，PE＝2+2t

∴﹣t2﹣3t＝2+2t

解得：t1＝，t2＝（舍去）

∴P（，）

綜上所述，點P坐標為（﹣2，3）或（，）時使△PDE為等腰直角三角形．