Question

【題目】如圖，BM是以AB為直徑的⊙O的切線，B為切點，BC平分∠ABM，弦CD交AB于點E，DE＝OE．

（1）求證：△ACB是等腰直角三角形；

（2）求證：OA2＝OEDC：

（3）求tan∠ACD的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）tan∠ACD＝2﹣．

【解析】

（1）根據BM為切線，BC平分∠ABM，求得∠ABC的度數，再由直徑所對的圓周角為直角，即可求證；

（2）根據三角形相似的判定定理證明三角形相似，再由相似三角形對應邊成比例，即可求證；

（3）由圖得到∠ACD＝∠ABD，根據各個角之間的關系求出∠AFD的度數，用AD表達出其它邊的邊長，再代入正切公式即可求得.

（1）∵BM是以AB為直徑的⊙O的切線，

∴∠ABM＝90°，

∵BC平分∠ABM，

∴∠ABC＝∠ABM＝45°

∵AB是直徑

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°

∴AC＝BC

∴△ACB是等腰直角三角形；

（2）如圖，連接OD，OC

∵DE＝EO，DO＝CO

∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD

∴∠EDO＝∠EDO，∠EOD＝∠OCD

∴△EDO∽△ODC

∴

∴OD2＝DEDC

∴OA2＝DEDC＝EODC

（3）如圖，連接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于點F，

∵DO＝BO

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO，

∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB，

∴∠ODB＝15°＝∠OBD

∵∠BAF＝∠DBA＝15°

∴AF＝BF，∠AFD＝30°

∵AB是直徑

∴∠ADB＝90°

∴AF＝2AD，DF＝AD

∴BD＝DF+BF＝AD+2AD

∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝＝2﹣