Question

【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上一點，AC＜BC．

（1）請用直尺（不含刻度）與圓規在BC上作一點D，使得直線OD平分ABC的周長；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若AB＝10，OD＝，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）如圖所示，直線OD即為所求；見解析；（2）△ABC的面積為10．

【解析】

（1）延長BC，在BC延長線上截取CE=CA，作BE的中垂線，垂足為D，作直線OD即可得；
（2）由作圖知OD是△ABE中位線，據此知AE=2OD=4，繼而由△ACE為等腰直角三角形得出AC=2，利用勾股定理求出BC的長，進一步計算得出答案．

（1）如圖所示，直線OD即為所求；

（2）如圖，∵OD為△ABE的中位線，

∴AE＝2OD＝4，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵CE＝CA，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴AC＝AE＝2，

由勾股定理可得BC＝2，

則△ABC的面積為ACBC＝×2×2＝10．