Question

【題目】【探索發現】

如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B=90°，小明想從中剪出一個以∠B為內角且面積最大的矩形，經過多次操作發現，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為　 　．

【拓展應用】

如圖②，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為　 　．（用含a，h的代數式表示）

【靈活應用】

如圖③，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內角），求該矩形的面積．

【實際應用】

如圖④，現有一塊四邊形的木板余料ABCD，經測量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積．

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題解分析：【探索發現】：由中位線知EF=BC、ED=AB、由可得；

【拓展應用】：由△APN∽△ABC知，可得PN=a-PQ，設PQ=x，由S矩形PQMN=PQPN═-（x-）2+，據此可得；

【靈活應用】：添加如圖1輔助線，取BF中點I，FG的中點K，由矩形性質知AE=EH=20、CD=DH=16，分別證△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，從而判斷出中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，利用【探索發現】結論解答即可；

【實際應用】：延長BA、CD交于點E，過點E作EH⊥BC于點H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，繼而求得BE=CE=90，可判斷中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，利用【拓展應用】結論解答可得．

試題解析：【探索發現】

∵EF、ED為△ABC中位線，

∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，

又∠B=90°，

∴四邊形FEDB是矩形，

則；

【拓展應用】

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴，即，

∴PN=a-PQ，

設PQ=x，

則S矩形PQMN=PQPN=x（a-x）=-x2+ax=-（x-）2+，

∴當PQ=時，S矩形PQMN最大值為.

【靈活應用】

如圖1，延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，FG的中點K，

由題意知四邊形ABCH是矩形，

∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，

∴EH=20、DH=16，

∴AE=EH、CD=DH，

在△AEF和△HED中，

∵ ，

∴△AEF≌△HED（ASA），

∴AF=DH=16，

同理△CDG≌△HDE，

∴CG=HE=20，

∴BI==24，

∵BI=24＜32，

∴中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，

過點K作KL⊥BC于點L，

由【探索發現】知矩形的最大面積為×BGBF=×（40+20）×（32+16）=720，

答：該矩形的面積為720；

【實際應用】

如圖2，延長BA、CD交于點E，過點E作EH⊥BC于點H，

∵tanB=tanC=，

∴∠B=∠C，

∴EB=EC，

∵BC=108cm，且EH⊥BC，

∴BH=CH=BC=54cm，

∵tanB==，

∴EH=BH=×54=72cm，

在Rt△BHE中，BE==90cm，

∵AB=50cm，

∴AE=40cm，

∴BE的中點Q在線段AB上，

∵CD=60cm，

∴ED=30cm，

∴CE的中點P在線段CD上，

∴中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，

由【拓展應用】知，矩形PQMN的最大面積為BCEH=1944cm2，

答：該矩形的面積為1944cm2．