Question

【題目】如圖1，對稱軸為直線x=1的拋物線y=x2+bx+c，與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），且點A坐標為(-1，0).又P是拋物線上位于第一象限的點，直線AP與y軸交于點D，與拋物線對稱軸交于點E，點C與坐標原點O關于該對稱軸成軸對稱.

（1）求點 B 的坐標和拋物線的表達式；

（2）當 AE：EP=1：4 時，求點 E 的坐標；

（3）如圖 2，在（2）的條件下，將線段 OC 繞點 O 逆時針旋轉得到 OC ′，旋轉角為 α(0°＜α＜90°)，連接 C ′D、C′B，求 C ′B+ C′D 的最小值．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0）；拋物線的表達式為：y=x2-x-；（2）E(1，6)；（3）C′B＋C′D的最小值為．

【解析】試題分析：（1）由拋物線的對稱軸和過點A ，即可得到拋物線的解析式，令y=0，解方程可得B的坐標；

（2）過點P作PF⊥x軸，垂足為F．由平行線分線段弄成比例定理可得===，從而求出E的坐標；

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函數表達式為y=3x+3，得到D（0，3）．

如圖，取點M（0， ），連接MC′、BM．則可求出OM，BM的長，得到△MOC′∽△C′OD．進而得到MC′＝C′D，由C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到結論．

試題解析：解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，∴-=1，∴b=-1．

∵拋物線過點A（-1，0），∴-b+c=0，解得：c=-，

即：拋物線的表達式為：y=x2-x-．

令y=0，則x2-x-=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；

（2）過點P作PF⊥x軸，垂足為F．

∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴===．

又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．

當x=9時，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函數表達式為y=3x+3，則D（0，3）．

∵原點O與點C關于該對稱軸成軸對稱，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．

如圖，取點M（0， ），連接MC′、BM．則OM＝，BM＝＝．

∵， ，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴，∴MC′＝C′D，∴C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BM＝，∴C′B＋C′D的最小值為．