Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連結BE．

（1）求證：BE與⊙O相切；

（2）若OD＝DE，AB＝6，求由，線段BC，AB所圍成圖形的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）π+．

【解析】

（1）連接OC，易證得△COE≌△BOE（SAS），即可得∠OCE＝∠OBE＝90°，證得BE與⊙O相切；

（2）根據切線的性質得到CE＝BE，推出四邊形OBEC是正方形，得到∠BOC＝90°，根據平角的定義得到∠AOC＝90°，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．

（1）證明：連接OC，

∵CE是⊙O的切線，

∵OB＝OC，OD⊥BC，

∴∠EOC＝∠EOB，

∵在△EOC和△EOB中，，

∴△COE≌△BOE（SAS），

∴∠OCE＝∠OBE＝90°，

即OB⊥BE，

∴BE與⊙O相切；

（2）解：∵CE，BE是⊙O的切線，

∴CE＝BE，

∵OE⊥BC，OD＝DE，

∴OC＝CE，OB＝BE，

∴OC＝OB＝BE＝CE，

∴四邊形OBEC是菱形，

∵∠OBE＝90°，

∴四邊形OBEC是正方形，

∴∠BOC＝90°，

∴∠AOC＝90°，

∵AB＝6，

∴AO＝OC＝OB＝3，

∴由,線段BC，AB所圍成圖形的面積=S扇形AOC+S△BCO＝+×3×3＝π+．