Question

【題目】問題情填，

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數學活動，如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD、并且量得AB＝2cm，AC＝4cm.

操作發現：

(1)將圖1中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉∠α，使∠α＝∠BAC，得到加圖2所示的△AC′D，過點C作AC′的平行線，與DC′的延長線交于點E，則四邊形ACEC'的形狀是_________；

(2)創新小組將圖1中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，使B，A，D三點在同一條直線上，得到如圖3所示的△AC′D，連接CC′，取CC'的中點F，連精AF并延長到點G，使FG＝AF，連接CG，C′G，得到四邊形ACGC′，發現它是正方形，請你證明這個結論.

實踐探究：

(3)縝密小組在創新小組發現結論的基礎上，進行如下操作：將△ABC沿著BD方向平移，使點B與點A重合，此時A點平移至A′點，A′C與BC′相交于點H.如圖4所示，連接CC'，試求CH的長度.

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）在圖一中，利用矩形的性質和平行線的性質可得出∠ACD＝∠BAC，在圖2中，由旋轉知AC＝AC'，∠AC'D＝∠ACD，可得∠CAC'＝∠AC'D，可得AC∥C'E，證得四邊形ACEC'是平行四邊形，又AC＝AC'，證得ACEC'是菱形

（2）在圖1和圖3中，根據矩形的性質和旋轉的性質證明∠BAC+∠DAC'＝90°，根據中點可得CF＝C'F，AF＝FG，可得到四邊形ACGC'是平行四邊形，又因為AG⊥CC'，證得ACGC'是菱形，由∠CAC'＝90°，故證得菱形ACGC'是正方形；

（3）在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，可求得sin∠ACB=，由（2）結合平移知，∠CHC’=90°，再利用解直角三角形求出BH=BC·sin30°=，進而求得C’H=BC’-BC=4-，CH=AC-AH=4-1=3，最后在Rt△CHC’中，利用銳角三角函數的定義求得tan∠C’CH==.

解：（1）在如圖1中，

∵AC是矩形ABCD的對角線，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，

在如圖2中，由旋轉知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD，

∴∠BAC＝∠AC'D，

∵∠CAC'＝∠BAC，

∴∠CAC'＝∠AC'D，

∴AC∥C'E，

∵AC'∥CE，

∴四邊形ACEC'是平行四邊形，

∵AC＝AC'，

∴ACEC'是菱形，

故答案為：菱形；

（2）在圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°

在圖3中，由旋轉知，∠DAC'＝∠DAC，

∴∠ACB＝∠DAC'，

∴∠BAC+∠DAC'＝90°，

∵點D，A，B在同一條直線上，

∴∠CAC'＝90°，

由旋轉知，AC＝AC'，

∵點F是CC'的中點，

∴AG⊥CC'，CF＝C'F，

∵AF＝FG，

∴四邊形ACGC'是平行四邊形，

∵AG⊥CC'，

∴ACGC'是菱形，

∵∠CAC'＝90°，

∴菱形ACGC'是正方形；

（3）在Rt△ABC中，AB=2，AC=4

∴BC’=AC=4，BD=BC=2，sin∠ACB=

∴∠ACB=30°

由（2）結合平移知，∠CHC’=90°

在Rt△BCH中，∠ACB=30°

∴BH=BC·sin30°=

∴C’H=BC’-BC=4-

在Rt△ABH中，AH=AB=1

∴CH=AC-AH=4-1=3

在Rt△CHC’中，tan∠C’CH==