Question

【題目】如圖，AB＝12，C是線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、CB為邊在A的同側(cè)作等邊△ACP和等邊△CBQ，連接PQ，則PQ的最小值是（　　）

A. 3B. 4C. 5D. 6

Answer 1

【答案】D

【解析】

分別延長AP、BQ交于點(diǎn)D，易證四邊形CPDQ為平行四邊形，得出PD+DQ＝PC+CQ＝AC+BC＝12，作△ABD的中位線MN，則MD＝DN＝MN＝AB，運(yùn)用中位線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)求出MD＝DN＝MN＝AB，進(jìn)而求得MD+DN＝PD+DQ，得出PM＝QN，作PE⊥MN，QF⊥MN，則PE∥QF，然后證得△PME≌△QNF，從而證得MN＝EF，根據(jù)平行線間的距離得出PQ≥EF，從而求得PQ的最小值．

解：如圖，分別延長AP、BQ交于點(diǎn)D，

∵∠A＝∠QCB＝60°，

∴AD∥CQ，

∵∠B＝CPCA＝60°，

∴BD∥PC，

∴四邊形CPDQ為平行四邊形，

∴PD＝CQ，PC＝DQ，

∴PD+DQ＝PC+CQ＝AC+BC＝12，

作△ABD的中位線MN，則MD＝DN＝MN＝AB，

∴MD+DN＝AB＝12，

∴MD+DN＝PD+DQ，

∴PM＝QN，

作PE⊥MN，QF⊥MN，

∴PE∥QF，

∴∠PEM＝∠QFN＝90°，且∠PME＝∠QNF＝60°，PM＝QN

∴△PME≌△QNF（AAS），

∴EM＝FN，

∴MN＝EF，

∴PQ≥EF，

∴C是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，PQ的值最小，最小值為AB＝6．

故選：D．