Question

【題目】已知∠MON＝120°，點A，B分別在ON，OM邊上，且OA＝OB，點C在線段OB上（不與點O，B重合），連接CA．將射線CA繞點C逆時針旋轉120°得到射線CA′，將射線BO繞點B逆時針旋轉150°與射線CA′交于點D．

（1）根據題意補全圖1；

（2）求證：

①∠OAC＝∠DCB；

②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，連接CE）；

（3）點H在線段AO的延長線上，當線段OH，OC，OA滿足什么等量關系時，對于任意的點C都有∠DCH＝2∠DAH，寫出你的猜想并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析；（3）猜想OH﹣OC＝OA時，對于任意的點C都有∠DCH＝2∠DAH；理由見解析

【解析】

（1）根據題意即可補全圖形；

（2）①由旋轉得∠ACD＝120°，由三角形內角和得出∠DCB+∠ACO＝60°，∠OAC+∠ACO＝60°，即可得出結論；

②在OA上截取OE＝OC，連接CE，則∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝30°，∠AEC＝150°，得出∠AEC＝∠CBD，易證AE＝BC，由ASA證得△AEC≌△CBD，即可得出結論；

（3）猜想OH﹣OC＝OA時，對于任意的點C都有∠DCH＝2∠DAH，在OH上截取OF＝OC，連接CF、CH，則FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝60°，得出△OFC 是等邊三角形，則CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，由SAS證得△CFH≌△COA，得出∠H＝∠OAC，由三角形外角性質得出∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，則∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，由CA＝CD，∠ACD＝120°，得出∠CAD＝30°，即可得出∠DCH＝2∠DAH．

解：（1）根據題意補全圖形，如圖1所示：

（2）證明：①由旋轉得：∠ACD＝120°，

∴∠DCB+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，

∵∠MON＝120°，

∴∠OAC+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，

∴∠OAC＝∠DCB；

②在OA上截取OE＝OC，連接CE，如圖2所示：

則∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝（180°﹣120°）＝30°，

∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝180°﹣30°＝150°，

由旋轉得：∠CBD＝150°，

∴∠AEC＝∠CBD，

∵OA＝OB，OE＝OC，

∴AE＝BC，在△AEC和△CBD中，

，

∴△AEC≌△CBD（ASA），

∴CD＝CA；

（3）解：猜想OH﹣OC＝OA時，對于任意的點C都有∠DCH＝2∠DAH；理由如下：

在OH上截取OF＝OC，連接CF、CH，如圖3所示：

則FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝180°﹣120°＝60°，

∴△OFC 是等邊三角形，

∴CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，

在△CFH和△COA中，

，

∴△CFH≌△COA（SAS），

∴∠H＝∠OAC，

∴∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，

∴∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，

∵CA＝CD，∠ACD＝120°，

∴∠CAD＝30°，

∴∠DCH＝2（∠CAD+∠OAC）＝2∠DAH．