Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，點D、E分別是邊BC、AB的中點，將△BDE繞著點B旋轉，點D、E旋轉后的對應點分別為點D′、E′，當直線D′E′經過點A時，線段CD′的長為_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分兩種情況：①點A在ED的延長線上時；②點A在線段DE的延長線上時；然后分類討論，求出線段BD的長各是多少即可．

解：如圖1，當點A在ED的延長線上時，

∵∠C=90°，AC=2，BC=4，

∴AB=，

∵點D、E分別是邊BC、AB的中點，

∴DE∥AC，DE=AC=1， BD=BC=2，

∴∠EDB=∠ACB=90°

∵將△BDE繞著點B旋轉，

∴∠BD′E′=∠BDE=90°，D′E′=DE=1，BD=BD=2，

∵在Rt△ABC和Rt△BAD′中，

D′B=AC=2，AB=BA，

即,

∵Rt△ABC≌Rt△BAD′（HL），

∴AD′=BC，且AC=D′B，

∴四邊形ACBD′是平行四邊形，且∠ACB=90°，

∴四邊形ACBD′是矩形，

∴CD=AB=2；

如圖2，當點A在線段D′E′的延長線上時，

∵∠AD′B=90°，

∴AD′=，

∴AE=AD′-DE′=3，

∵將△BDE繞著點B旋轉，

∴∠ABC=∠EBD，

∵，

∴△ABE∽△BCD′

∴，

∴，

，

故答案為：或．