Question

【題目】如圖1和2，四邊形ABCD是菱形，點P是對角線AC上一點，以點P為圓心，PB為半徑的弧，交BC的延長線于點F，連接PF，PD，PB．

（1）如圖1，點P是AC的中點，請寫出PF和PD的數量關系：；

（2）如圖2，點P不是AC的中點，
①求證：PF=PD．
②若∠ABC=40°，直接寫出∠DPF的度數．

Answer 1

【答案】
（1）PF=PD
（2）

解：①證明：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠BAC=∠DAC．

在△ABP和△ADP中，

，

∴△ABP≌△ADP（SAS），

∴PB=PD，

又∵PB=PF，

∴PF=PD．

②解：以P為圓心，PB為半徑作圓P，則點B、F、D都在圓P上，連接BD．

由圓周角定理，可得∠DPF=2∠DBF，

又∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABC=2∠DBF，

∴∠DPF=∠ABC=40°．

【解析】（1）先根據菱形的對角線互相平分得出PB=PD，而由已知有PB=PF，則PF=PD；（2）①先由菱形的性質得出AB=AD，∠BAC=∠DAC，再由SAS證明△ABP≌△ADP，得出PB=PD，又PB=PF，則PF=PD；
②由于PB=PD=PF，以P為圓心，PB為半徑作圓P，則點B、F、D都在圓P上，連接BD，則∠DPF=2∠DBF=∠ABC=40°．
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質的相關知識點，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題．