Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB=，點E為對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE．交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．

①求證：矩形DEFG是正方形；

②探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 是定值

【解析】分析：①作出輔助線，得到EN=EM，然后判斷∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，則有DE=EF即可；

②同①的方法證出△ADE≌△CDG得到CG=AE，得出CE+CG=CE+AE=AC=4即可．

詳解：①過E作EM⊥BC于M點，過E作EN⊥CD于N點，如圖所示：

∵正方形ABCD，

∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，

∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°， 且NE=NC，∴四邊形EMCN為正方形．

∵四邊形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，

∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90°．在△DEN和△FEM中，∵∠DNE=∠FME，EN=EM，∠DEN=∠FEM，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，∴矩形DEFG為正方形，

②CE+CG的值為定值，理由如下：

∵矩形DEFG為正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠ADE=∠CDG．在△ADE和△CDG中，∵AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG，

∴AC=AE+CE=AB=×2=4，∴CE+CG=4 是定值．