Question

【題目】定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形．

（問題理解）

(1)如圖1，點A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點D，連接AD、CD．

求證：四邊形ABCD是等補四邊形；

（拓展探究）

(2)如圖2，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請說明理由；

（升華運用）

(3)如圖3，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點F．若CD＝6，DF＝2，求AF的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) AC平分∠BCD，理由見解析；(3) AF＝4．

【解析】

（1）由圓內接四邊形互補可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再證AD=CD，即可根據等補四邊形的定義得出結論；
（2）過點A分別作AE⊥BC于點E，AF垂直CD的延長線于點F，證△ABE≌△ADF，得到AE=AF，根據角平分線的判定可得出結論；
（3）連接AC，先證∠EAD=∠BCD，推出∠FCA=∠FAD，再證△ACF∽△DAF，利用相似三角形對應邊的比相等可求出AF的長．

(1)證明：∵四邊形ABCD為圓內接四邊形

∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°.

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD＝∠CBD

∴弧AD＝弧CD

∴AD＝CD

∴四邊形ABCD是等補四邊形

(2)AC平分∠BCD，理由如下：

過點A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F則

∠AEB＝∠AFD＝90°

∵四邊形ABCD是等補四邊形

∴∠ADC+∠B＝180°

又∵∠ADC+∠ADF＝180°

∴∠B＝∠ADF

在△AFD與△AEB中

∴≌

∴

∴點A一定在∠BCD的平分線上

即AC平分∠BCD.

(3)連接AC

同(2)理得∠EAD＝∠BCD

由(2)知AC平分∠BCD所以∠FCA＝∠BCD

同理∠FAD＝∠EAD

∴∠FCA＝∠FAD.

又∵∠F＝∠F

∴△FAD∽△FCA

∴

即

∴AF＝4