Question

【題目】已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數y=x2+mx+n的圖象上，當x1=1、x2=3時，y1=y2．

（1）①求m；②若拋物線與x軸只有一個公共點，求n的值．

（2）若P（a，b1），Q（3，b2）是函數圖象上的兩點，且b1＞b2，求實數a的取值范圍．

（3）若對于任意實數x1、x2都有y1+y2≥2，求n的范圍．

Answer 1

【答案】（1）①m=-4；②n=4 ；（2）a＞3或a＜1 ；（3）n≥5

【解析】試題分析：（1）①利用拋物線的對稱性可得拋物線的對稱軸為直線x=2，則根據拋物線對稱軸方程得到=2，然后解方程即可得到m的值；

②利用△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數得到△=m2﹣4n=0，然后解方程即可得到n的值；

（2）利用二次函數的性質，由于x1=1、x2=3時，y1=y2，點P到直線x=2的距離比點Q到直線x=2的距離要大，于是可得到a＜1或a＞3；

（3）由于對于任意實數x1、x2都有y1+y2≥2，則判斷二次函數y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1，根據頂點坐標公式得到≥1，然后解不等式即可．

試題解析：解：（1）①∵當x1=1、x2=3時，y1=y2，∴點A與點B為拋物線上的對稱點，∴拋物線的對稱軸為直線x=2，即=2，∴m=﹣4；

②∵拋物線與x軸只有一個公共點，∴△=m2﹣4n=0，而m=﹣4，∴n=4；

（2）∵x1=1、x2=3時，y1=y2，而拋物線開口向上，∴當a＞3時，b1＞b2，或a＜1時，b1＞b2，即實數a的取值范圍為a＜1或a＞3；

（3）∵對于任意實數x1、x2都有y1+y2≥2，∴二次函數y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1，即≥1，∴n≥5．