Question

【題目】如圖，已知∠POQ＝60°，點A、B分別在射線OQ、OP上，且OA＝2，OB＝4，∠POQ的平分線交AB于C，一動點N從O點出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線OP向點B作勻速運動，MN⊥OB交射線OQ于點M．設點N運動的時間為t（0＜t＜2）秒．

（1）求證：△ONM∽△OAB；

（2）當MN＝CM時，求t的值；

（3）設△MNC與△OAB重疊部分的面積為S．請求出S關于t的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意可知：ON=t，∠POQ＝60°，∠ONM=90°，根據銳角三角函數求出OM，然后利用兩組對應邊成比例及其夾角相等的兩個三角形相似，即可證出△ONM∽△OAB；

（2）分別用t表示出：MN、OM、CM、AM，然后在Rt△AMC中根據勾股定理即可求出t的值；

（3）根據點M的位置分類討論：①當M在線段OA上時，即0＜2t≤2，解得0＜t≤1時，由圖可知：△MNC與△OAB重疊部分的面積是△MNC的面積，利用S=S△NMC=S△AOB－S△BNC－S△ONM－S△ACM，即可求出此時S與t的函數關系式；②當M在OA的延長線上時，即2＜2t，此時1＜t＜2時，

設MN與AC交于點F，過點N作NE⊥AB，由圖可知：△MNC與△OAB重疊部分的面積為△NCF的面積，最后計算△NCF的面積，即可求出此時S與t的函數關系式.

解：（1）由題意可知：ON=t，∠POQ＝60°，∠ONM=90°

∴OM=

∴

∴

∵∠NOM=∠AOB

∴△ONM∽△OAB；

（2）在Rt△OMN中

MN=ON·tan∠NOM=，OM=2t

∴CM=MN=，AM=OA－OM=2－2t

∵OC平分∠POQ

∴∠COA=∠POQ=30°

在Rt△OAC中，AC=OA·tan∠COA=

在Rt△AMC中，AC2+AM2=CM2

即

解得：（不符合條件，故舍去）

故；

（3）①當M在線段OA上時，即0＜2t≤2，解得0＜t≤1時，由圖可知：△MNC與△OAB重疊部分的面積是△MNC的面積

過點C作CE⊥OB于E，

∵△ONM∽△OAB

∴∠OAB=∠ONM=90°

∴AB=OB·sin∠AOB=

∵OC平分∠POQ

∴CE=CA=，

∴BN=OB－ON=4－t

此時S=S△NMC=S△AOB－S△BNC－S△ONM－S△ACM

=AO·BA－BN·CE－ON·MN－AM·AC

=×2×－×（4－t）×－×t×－×（2－2t）×

=

即S=（0＜t≤1）；

②當M在OA的延長線上時，即2＜2t，此時1＜t＜2時，

設MN與AC交于點F，過點N作NE⊥AB，由圖可知：△MNC與△OAB重疊部分的面積為△NCF的面積，

∵∠POQ=60°

∴∠OBA=∠OMN=90°－∠POQ=30°

∵BN=OB－ON=4－t，AM=OM－OA=2t－2

∴NE=BN·sin∠OBA=，AF=AM·tan∠OMN=

∴FC=AC－AF=－=

∴S=S△NCF=FC·NE=

即S=（1＜t＜2）.

綜上所述：S=