Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+1經過點（2，6），且與直線y=x+1相交于A，B兩點，點A在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若P是直線AB上方該拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交AB于點E，求線段PE的最大值；

（3）在（2）的條件，設PC與AB相交于點Q，當線段PC與BE相互平分時，請求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+1；（2）4；（3）（，），（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據題意得出B點坐標，再利用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）首先表示出P，E點坐標，再利用PE=PD-ED，結合二次函數最值求法進而求出PE的最大值；

（3）根據題意可得：PE=BC，則-x2+4x=3，進而求出Q點的橫坐標，再利用直線上點的坐標性質得出答案．

試題解析：（1）∵BC⊥x軸，垂足為點C（4，0），且點B在直線y=x+1上，

∴點B的坐標為：（4，3），

∵拋物線y=ax2+bx+1經過點（2，6）和點B（4，3），

∴，

解得：，

故拋物線的解析式為：y=-x2+x+1；

（2）如圖所示：設動點P的坐標為；（x，-x2+x+1），

則點E的坐標為：（x， x+1），

∵PD⊥x軸于點D，且點P在x軸上，

∴PE=PD-ED=（-x2+x+1）-（x+1）

=-x2+4x

=-（x-2）2+4，

則當x=2時，PE的最大值為：4；

（3）∵PC與BE互相平分，

∴PE=BC，

∴-x2+4x=3，即x2-4x+3=0，

解得：x1=1，x2=3，

∵點Q分別時PC，BE的中點，且點Q在直線y=x+1，

∴①當x=1時，點Q的橫坐標為：，

∴點Q的坐標為：（，），

②當x=3時，點Q的橫坐標為：，

∴點Q的坐標為：（，），

綜上所述，點Q的坐標為：（，），（，）．