Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．

（1）觀察猜想

圖1中，線段PM與PN的數量關系是　 　，∠MPN的度數是　 　；

（2）探究證明

把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝4，AB＝8，請直接寫出△PMN面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）PM＝PN，60°；（2）詳見解析；（3）≤S△PMN≤9．

【解析】

（1）利用三角形的中位線得出PM=CE,PN=BD,進而判斷出BD=CE,即可得出結論,再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出結論；

（2）先判斷出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同（1）的方法得出PM=BD,PN=BD,即可得出PM=PN,同（1）的方法即可得出結論；

（3）先判斷出BD最大時,△PMN的面積最大,而BD最大是AB+AD=12,再判斷出BD最小時,△PMN最小,即可得出結論．

解：（1）∵點P,N是BC,CD的中點,

∴PN∥BD,PN＝BD,

∵點P,M是CD,DE的中點,

∴PM∥CE,PM＝CE,

∵AB＝AC,AD＝AE,

∴BD＝CE,

∴PM＝PN,

∵PN∥BD,

∴∠DPN＝∠ADC,

∵PM∥CE,

∴∠DPM＝∠DCA,

∵∠BAC＝120°,

∴∠ADC+∠ACD＝60°,

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝60°,

故答案為：PM＝PN,60°；

（2）△PMN是等腰直角三角形．

由旋轉知,∠BAD＝∠CAE,

∵AB＝AC,AD＝AE,

∴△ABD≌△ACE（SAS）,

∴∠ABD＝∠ACE,BD＝CE,

利用三角形的中位線得,PN＝BD,PM＝CE,

∴PM＝PN,

∴△PMN是等腰三角形,

同（1）的方法得,PM∥CE,

∴∠DPM＝∠DCE,

同（1）的方法得,PN∥BD,

∴∠PNC＝∠DBC,

∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC,

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC

＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC

＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC,

∵∠BAC＝120°,

∴∠ACB+∠ABC＝60°,

∴∠MPN＝60°,

∴△PMN是等邊三角形；

（3）由（2）知,△PMN是等邊三角形,PM＝PN＝BD,

∴PM最大時,△PMN面積最大,PM最小時,△PMN面積最小

∴點D在BA的延長線上,△PMN的面積最大,

∴BD＝AB+AD＝12,

∴PM＝6,

∴S△PMN最大＝PM2＝×62＝9,

當點D在線段AB上時,△PMN的面積最小,

∴BD＝AB﹣AD＝4,

∴PM＝2,

S△PMN最小＝PM2＝×22＝,

∴≤S△PMN≤9．