Question

【題目】已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F，Q為斜邊AB的中點．

（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是　 　，QE與QF的數量關系式　 　；

（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明；

（3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明．

Answer 1

【答案】解：（1）AE∥BF，QE=QF。

（2）QE=QF，證明如下：

如圖，延長FQ交AE于D，

∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ。

在△FBQ和△DAQ中，∵，

∴△FBQ≌△DAQ（ASA）。∴QF=QD。

∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線。

∴QE=QF=QD，即QE=QF。

（3）（2）中的結論仍然成立。證明如下：

如圖，延長EQ、FB交于D，

∵AE∥BF，∴∠1=∠D。

在△AQE和△BQD中，，

∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD。

∵BF⊥CP，∴FQ是斜邊DE上的中線。∴QE=QF。

【解析】（1）證△BFQ≌△AEQ即可。理由是：

如圖，∵Q為AB中點，∴AQ=BQ。

∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ。

在△BFQ和△AEQ中，，∴△BFQ≌△AEQ（AAS）。∴QE=QF。

（2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可。

（3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可。