Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）如圖2，將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉，使邊OM在∠BOC的內部，且OM恰好平分∠BOC．此時∠AOM=_______度；

（2）如圖3，繼續將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉，使得ON在∠AOC的內部．探究∠AOM與∠NOC之間數量關系，并說明你的理由；

（3）將圖1中的三角板繞點O以每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，若直線ON恰好平分∠AOC，則此時三角板繞點O旋轉的時間是多少秒？

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）∠AOM-∠NOC=30°；（3）6或24秒．

【解析】

（1）先根據角平分線的定義求出∠BOM的度數，繼而根據平角的定義進行求解即可；

（2）結論：∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：根據平角定義先求出∠AOC的度數，繼而根據角的和差得到90°-∠AOM=60°-∠NOC，由此求解即可；

（3）設三角板繞點O旋轉的時間是x秒，分ON的反向延長線OF平分∠AOC和ON的平分∠AOC兩種情況分別畫出圖形進行解答即可.

（1）∵OM恰好平分∠BOC，∠BOC=120°，

∴∠BOM=∠BOC=120°÷2=60°，

∴∠AOM=180°-60°=120°；

（2）如圖，∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：

∵∠BOC=120°，

∴∠AOC=180°-∠BOC=60°，

∵∠AON=∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，

∠AON=∠AOC-∠NOC=60°-∠NOC，

∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，

∴∠AOM-∠NOC=30°；

（3）設三角板繞點O旋轉的時間是x秒，

∵∠BOC=120°，

∴∠AOC=60°，

如圖a，當ON的反向延長線OF平分∠AOC時，∠AOF=∠AOC=30°，

∴∠BON=∠AOF=30°，

∴∠BOM=90°-∠BON=60°，

∴10x=60，

∴x=6；

如圖b，當ON平分∠AOC時，∠CON=∠AOC=30°，

∴ON旋轉的角度是90°+150°+30°=240°，

∴10x=240，

∴x=24，

綜上，x=6或x=24，

即此時三角板繞點O旋轉的時間是6或24秒．