Question

【題目】拋物線與軸交于A、B兩點，點P在函數的圖象上，若△PAB為直角三角形，則滿足條件的點P的個數為（ ）.

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 6個

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：先由二次函數與一元二次方程的關系求出A、B兩點的坐標,然后分類討論：①當∠PAB=90°時，則P點的橫坐標為-3，根據反比例函數圖象上點的坐標特征易得P點有1個；②當∠APB=90°，設P（x，），根據兩點間的距離公式和勾股定理可得（x+3）2+（）2+（x-3）2+（）2=36，此時P點有4個，③當∠PBA=90°時，P點的橫坐標為3，此時P點有1個．

詳解：解得，

x=±3,

∴A(-3,0)，B(3,0).

①當∠PAB=90°時，如圖1，P點的橫坐標為-3，把x=-3代入y=得y=-，所以此時P點有1個；

②當∠APB=90°，如圖2，設P（x，），PA2=（x+3）2+（）2，PB2=（x-3）2+（）2，AB2=（3+3）2=36，

∵PA2+PB2=AB2，

∴（x+3）2+（）2+（x-3）2+（）2=36，

整理得x4-9x2+4=0，所以x2=，或x2=，

所以此時P點有4個，

③當∠PBA=90°時，如圖3，P點的橫坐標為3，把x=3代入y=得y=，所以此時P點有1個；

綜上所述，滿足條件的P點有6個．

故選：D．