Question

【題目】如圖，是的直徑，點D在上，的延長線與過點B的切線交于點C，E為線段上的點，過點E的弦于點H．

（1）求證：；

（2）已知，，且，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）-2．

【解析】

（1）連接BD，根據圓周角定理得到∠ADB=90°，根據切線的性質得到∠ABC=90°，得到∠C=∠ABD，根據圓周角定理即可得到結論；

（2）根據相似三角形的判定和性質以及勾股定理即可得到結論．

解：（1）證明：如圖1，連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠CAB=90°，
∴∠C=∠ABD，
∵∠AGD=∠ABD，
∴∠AGD=∠C；

（2）解：∵∠BDC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴，
∴AC=9，
∴AB=，
∵CE=2AE，
∴AE=3，CE=6，
∵FH⊥AB，
∴FH∥BC，
∴△AHE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AH=，EH=2，
如圖2，連接AF，BF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFH+∠BFH=∠AFH+∠FAH=90°，
∴∠FAH=∠BFH，
∴△AFH∽△FBH，
∴ ，
∴，
∴FH=，
∴EF=-2．