Question

【題目】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，C是BA延長線上一點，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，過點B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H．

（1）如圖1，求證：PQ=PE；

（2）如圖2，G是圓上一點，∠GAB=30，連接AG交PD于F，連接BF，tan∠BFE=，求∠C的度數；

（3）如圖3，在（2）的條件下，PD=6，連接QG交BC于點M，求QM的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）30°(3) QM=

【解析】試題分析：

（1）連接OP，PB，由已知易證∠OBP=∠OPB=∠QBP，從而可得BP平分∠OBQ，結合BQ⊥CP于點Q，PE⊥AB于點E即可由角平分線的性質得到PQ=PE；

（2）如下圖2，連接OP，則由已知易得∠CPO=∠PEC=90°，由此可得∠C=∠OPE，設EF=x，則由∠GAB=30°，∠AEF=90°可得AE= ，在Rt△BEF中，由tan∠BFE=可得BE= ，從而可得AB= ，則OP=OA= ，結合AE= 可得OE= ，這樣即可得到sin∠OPE=，由此可得∠OPE=30°，則∠C=30°；

（3）如下圖3，連接BG，過點O作OK⊥HB于點K，結合BQ⊥CP，∠OPQ=90°，可得四邊形POKQ為矩形．由此可得QK=PO，OK∥CQ從而可得∠KOB=∠C=30°；由已知易證PE=，在Rt△EPO中結合（2）可解得PO=6，由此可得OB=QK=6；在Rt△KOB中可解得KB=3，由此可得QB=9；在△ABG中由已知條件可得BG=6，∠ABG=60°；過點G作GN⊥QB交QB的延長線于點N，由∠ABG=∠CBQ=60°，可得∠GBN=60°，從而可得解得GN=，BN=3，由此可得QN=12，則在Rt△BGN中可解得QG=，由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分線，由此可得QM：GM=QB：GB=9：6由此即可求得QM的長了.

試題解析：

（1）如下圖1，連接OP，PB，∵CP切⊙O于P，

∴OP⊥CP于點P，

又∵BQ⊥CP于點Q，

∴OP∥BQ，

∴∠OPB=∠QBP，

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，

∴∠QBP=∠OBP，

又∵PE⊥AB于點E，

∴PQ=PE；

（2）如下圖2，連接，∵CP切⊙O于P，

∴

∴

∵PD⊥AB

∴

∴

∴

在Rt中,∠GAB=30°

∴設EF=x，則

在Rt中,tan∠BFE=3

∴

∴

∴

∴

∴在RtPEO中,

∴30°；

(3)如下圖3，連接BG，過點O作于K，又BQ⊥CP，

∴，

∴四邊形POKQ為矩形，

∴QK=PO,OK//CQ，

∴30°，

∵⊙O 中PD⊥AB于E ，PD=6 ，AB為⊙O的直徑，

∴PE= PD= 3，

根據(2)得，在RtEPO中， ，

∴，

∴OB=QK=PO=6，

∴在Rt中， ，

∴，

∴QB=9，

在△ABG中，AB為⊙O的直徑，

∴AGB=90°，

∵BAG=30°，

∴BG=6， ABG=60°，

過點G作GN⊥QB交QB的延長線于點N，則∠N=90°，∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°，

∴BN=BQ·cos∠GBQ=3，GN=BQ·sin∠GBQ=，

∴QN=QB+BN=12，

∴在Rt△QGN中，QG=，

∵∠ABG=∠CBQ=60°，

∴BM是△BQG的角平分線，

∴QM：GM=QB：GB=9：6，

∴QM=.