Question

【題目】已知直線y＝x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y＝x2+mx﹣4經過點A，和x軸的另一個交點為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點D是拋物線上的動點，且在第三象限，求△ABD面積的最大值；

（3）如圖2，經過點M（﹣4，1）的直線交拋物線于點P、Q，連接CP、CQ分別交y軸于點E、F，求OEOF的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+3x﹣4；（2）當n＝﹣2時，△ABD面積的最大，最大值為24；（3）1.

【解析】

（1）先求得點A的坐標，然后將點A的坐標代入拋物線的解析式求得m的值即可；

（2）設D（n，n2+3n-4），根據圖形的面積公式得到S△ABD=-2（n+2）2+24，當n=-2時，求得△ABD最大值為24；

（3）先求得點C的坐標，然后設直線CQ的解析式為y=ax-a，CP的解析式為y=bx-b，接下來求得點Q和點P的橫坐標，然后設直線PQ的解析式為y=x+d，把M（-4，1）代入得：y=kx+4k+1，將PQ的解析式為與拋物線解析式聯立得到關于x的一元二次方程，然后依據一元二次方程根與系數的關系可求得ab=1，最后，由ab的值可得到OEOF的值．

（1）把y＝0代入y＝x+4得：0＝x+4，解得：x＝﹣4，

∴A（﹣4，0）．

把點A的坐標代入y＝x2+mx﹣4得：m＝3，

∴拋物線的解析式為y＝x2+3x﹣4；

（2）如圖1，

設D（n，n2+3n﹣4），

∴S△ABD＝S四邊形ADOB﹣S△BDO＝×4×4+×4[﹣（n2+3n﹣4）]﹣×4n＝﹣2n2﹣8n+16＝﹣2（n+2）2+24，

∴當n＝﹣2時，△ABD面積的最大，最大值為24；

（3）把y＝0代入 y＝x2+3x﹣4，得：x2+3x﹣4＝0，解得：x＝1或x＝﹣4，

∴C（1，0），

設直線CQ的解析式為y＝ax﹣a，CP的解析式為y＝bx﹣b．

∴，解得：x＝﹣1或x＝4﹣a，

∴xQ＝4﹣a

同理：xP＝4﹣b，

設直線PQ的解析式為y＝kx+b，把M（﹣4，1）代入得：y＝kx+4k+1．

∴，

∴x2+（3﹣k）x﹣4k﹣5＝0，

∴xQ+xP＝4﹣a+4﹣b＝3﹣k，xQxP＝（4﹣a）（4﹣b）＝﹣4k﹣5，

解得：ab＝﹣1．

又∵OE＝﹣b，OF＝a，

∴OEOF＝﹣ab＝1．