Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形 OABC 是矩形，點 B 的坐標為（4，3）．

（1）直接寫出A、C兩點的坐標；

（2）平行于對角線AC的直線 m 從原點O出發，沿 x 軸正方向以每秒 1 個單位長度的速度運動，設直線 m 與矩形 OABC 的兩邊分別交于點M、N，設直線m運動的時間為t（秒）．

①若 MN＝AC，求 t 的值；

②設△OMN 的面積為S，當 t 為何值時，S=.

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），C（0，3）；(2)①t＝2 或 6;②t＝2 或 4+2

【解析】

（1）因為四邊形OABC是矩形且點B的坐標為（4，3），所以可知，OA=CB=4，OC=AB=3，故可知A、C兩點的坐標；
（2）①可以分為兩種情況：當M、N分別在OA、OC上時，可證明△OMN∽△OAC，由題意可求得OM的長，即可求得t的值；當M、N分別在AB、BC上時，可證明△BMN∽△BAC，由題意可求得BM的長，即可由相似三角形的性質求得t的值，綜合以上兩種情況即是要求的t值．
②可以分為兩種情況：當M、N分別在OA、OC上時，可證明△OMN∽△OAC，由題意可求得OM、ON的長，即可求得面積的表達式，再由面積為可得t的值；當M、N分別在AB、BC上時，由△DAM∽△AOC，可得AM，由△BMN∽△BAC，可得BN，即可得BM、CN，由S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積-Rt△MBN的面積-Rt△NCO的面積，可得關于t的表達式，再由面積為可得t的值，綜合以上兩種情況即是要求的t值．

解：（1）A（4，0），C（0，3）；

（2）①x 軸正方向以每秒 1 個單位長度的速度運動，直線 m 運動的時間為 t ， 可以分為兩種情況：

當 M、N 分別在 OA、OC 上時，如下圖所示：

∵直線 m 平行于對角線 AC

∴△OMN∽△OAC

∴==

∴t＝2；

當 M、N 分別在 AB、BC 上時，如下圖所示：

∵直線 m 平行于對角線 AC

∴△BMN∽△BAC

∴=＝ ＝

∴t＝6

綜上所述，當 t＝2 或 6 時，MN＝AC

得

②當 0＜t≤4 時，OM＝t，△OMN∽△OAC，得 ，

∴ON＝t，S＝t2＝

∴t＝2；

當 4＜t＜8 時，

如圖，∵OD＝t，∴AD＝t﹣4．

由△DAM∽△AOC，可得 AM＝（t﹣4）

∴BM＝6﹣t．

由△BMN∽△BAC，可得 BN＝BM＝8﹣t

∴CN＝t﹣4

S＝矩形 OABC 的面積﹣Rt△OAM 的面積﹣Rt△MBN 的面積﹣Rt△NCO 的面積

＝12﹣﹣（8﹣t）（6﹣t）﹣

＝﹣t2+3t，

∴﹣t2+3t=

解得：t=4±2

∴t=4+2

故當 t＝2 或 4+2時，△OMN 的面積 S＝ ．