Question

【題目】在△ABC中，D是邊BC的中點．

（1）①如圖1，求證：△ABD和△ACD的面積相等；

②如圖2，延長AD至E，使DE=AD，連結CE，求證：AB=EC．

（2）當∠BAC=90°時，可以結合利用以上各題的結論，解決下列問題：

①求證：ADBC(即：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)；

②已知BC=4，將△ABD沿AD所在直線翻折，得到△ADB'，若△ADB'與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請畫出圖形(草圖)并求出AC的長度．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）①證明見解析；②作圖見解析，AC=2或2．

【解析】

（1）①作△ABC，AB邊上的高，根據三角形面積公式即可得出結論；

②證明△ABD≌△ECD，即可證明AB=EC；

（2）①根據△ABD≌△ECD可得AD=DE=，再證△ABC≌△CEA可得BC=AE，由此可得結論；

②分AB＞AC，AB＜AC，AB=AC三種情況討論，畫出對應圖，運用分類討論的數學思想，逐一分類解析，即可解決問題．

解：（1）①過點A作AH⊥BC，垂足為H，

則S△ABDBDAH，S△ACDCDAH．

∵點D是BC中點，

∴BD=CD，

∴△ABD和△ACD的面積相等．

②在△ABD和△ECD中，

，

∴△ABD≌△ECD(SAS)，

∴AB=EC．

（2）①∵△ABD≌△ECD(已證)，

∴∠B=∠ECD；

∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠ACB=90°，

∴∠ECD+∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠BAC=90°；

在△ABC與△CEA中，

，

∴△ABC≌△CEA(SAS)，

∴BC=AE；

∵ADAE，∴ADBC．

②畫草圖如下：

(Ⅰ)當AB＞AC時，如圖3，由△ADB'與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，

結合（1）①題的結論，可以得到點O既即是ABˊ的中點，也是CD的中點，

故四邊形ADB'C為平行四邊形，

∴AC=BˊD=BDBC=2．

(Ⅱ)當AB＜AC時，

如圖4，類比(Ⅰ)可得OA=OC，OB’=OD，

又∵∠AO B’=∠DOC，

∴△AOBˊ≌△COD（SAS），

∴ABˊ=CD=2，∠Bˊ=∠CDO，

又∵∠Bˊ=∠B，

∴∠B=∠CDO，/span>

∴AB∥OD，

∴∠COD=∠BAC=90°，

又∵DO=OBˊ=1，

由勾股定理可得CO，

∴AC=2CO．

(Ⅲ)當 AB=AC時，由等腰三角形的性質可知，

折疊后重合的面積等于△ABC面積的，

不可能等于，所以不合題意，舍去．

綜上所述：AC=2或2．