Question

【題目】己知AB是⊙0的直徑，AP是⊙0的切線，A是切點，BP與⊙0交于點C．

(1)如圖①，若AB=2，∠P=30，求AP的長．（結果保留根號）

(2)如圖②，若D為AP的中點，∠P=30，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）易證PA⊥AB，再通過解直角三角形求解；

（2）本題連接OC，證出OC⊥CD即可．首先連接AC，得出直角△ACP，根據直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半得CD=AD，再利用等腰三角形性質可證∠OCD=∠OAD=90°，從而解決問題．

解:（1）∵AB是⊙O的直徑，AP是切線，∴∠BAP=90°.

在Rt△PAB中，，，∴.

由勾股定理，得 .

(2)如圖，連接OC、AC，∵AB是⊙O的直徑，

∴，有.

在Rt△APC中，D為AP的中點，

∴.

∴.，

又 ∵，

∴.

∵，

∴，即，

∴ 直線是⊙的切線.