Question

【題目】在等邊△ABC中，點D是邊BC上一點．作射線AD，點B關于射線AD的對稱點為點E．連接CE并延長，交射線AD于點F．

（1）如圖①，連接AE，

①AE與AC的數量關系是　　；

②設∠BAF=a，用a表示∠BCF的大小；

（2）如圖②，用等式表示線段AF，CF，EF之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①AE=AC；②∠BCF=α；（2）結論：AF=EF+CF．證明見解析．

【解析】

（1）①可得AE=AB，AB=AC，則AE=AC；
②根據∠BCF=∠ACE-∠ACB，求出∠ACE，∠ACB即可．
（2）結論：AF=EF+CF．如圖，作∠FCG=60°交AD于點G，連接BF．證明△ACG≌△BCF即可解決問題．

（1）①∵點B關于射線AD的對稱點為E，

∴AE=AB．

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，

∴AE=AC．

故答案為：AE=AC．

②解：∵∠BAF=∠EAF=α，△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，

∴∠EAC=60°﹣2α，AE=AC，

∴∠ACE= [180°﹣（60°﹣2α）]=60°+α，∴∠BCF=∠ACE﹣∠ACB=60°+α﹣60°=α．

（2）結論：AF=EF+CF．

證明：如圖，作∠FCG=60°交AD于點G，連接BF．

∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，

∴∠ABC=∠AFC=60°，

∴△FCG是等邊三角形，

∴GF=FC．

∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∴∠ACG=∠BCF=α，

在△ACG和△BCF中，

，

∴△ACG≌△BCF（SAS），

∴AG=BF．

∵點B關于射線AD的對稱點為E，

∴BF=EF，

∴AF﹣AG=GF，

∴AF=EF+CF．