Question

【題目】某年五月，我國南方某省A、B兩市遭受嚴重洪澇災害，鄰近縣市C、D決定調運物資支援A、B兩市災區．已知C市有救災物資240噸，D市有救災物資260噸，現將這些救災物資全部調往A、B兩市，A市需要的物資比B市需要的物資少100噸．已知從C市運往A、B兩市的費用分別為每噸20元和25元，從D市運往往A、B兩市的費用分別為每噸15元和30元，設從D市運往B市的救災物資為x噸．

（1）A、B兩市各需救災物資多少噸？

（2）設C、D兩市的總運費為w元，求w與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）經過搶修，從D市到B市的路況得到了改善，縮短了運輸時間，運費每噸減少m元（m＞0），其余路線運費不變．若C、D兩市的總運費的最小值不小于10320元，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A市需救災物資200噸，B市需救災物資300噸；（2）w＝10x+10200（60≤x≤260）；（3）0＜m≤8

【解析】

（1）根據題意，可以列出相應的方程，從而可以求得A、B兩市各需救災物資多少噸；

（2）根據題意，可以寫出w與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）根據題意，可以得到w與x的函數關系式，然后根據一次函數的性質和分類討論的方法可以解答m的取值范圍．

（1）設A市需救災物資a噸，

a+a+100＝260+240

解得，a＝200，

則a+100＝300，

答：A市需救災物資200噸，B市需救災物資300噸；

（2）由題意可得，

w＝20[200﹣（260﹣x）]+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x＝10x+10200，

∵260﹣x≤200且x≤260，

∴60≤x≤260，

即w與x的函數關系式為w＝10x+10200（60≤x≤260）；

（3）∵經過搶修，從D市到B市的路況得到了改善，縮短了運輸時間，運費每噸減少m元（m＞0），其余路線運費不變，

∴w＝10x+10200﹣mx＝（10﹣m）x+10200，

①當10﹣m＞0，m＞0時，即0＜m＜10時，則w隨x的增大而增大，

∴x＝60時，w有最小值，w最小值是（10﹣m）×60+10200，

∴（10﹣m）×60+10200≥10320，解得m≤8，

又∵0＜m＜10，

∴0＜m≤8；

②當10﹣m＝0，即m＝10時無論如何調運，運費都一樣．

w＝10200＜10320，不合題意舍去；

③當10﹣m＜0，即m＞10時，則w隨x的增大而減小，

∴x＝260時，w有最小值，此時最小值是（10﹣m）×260+10200，

∴（10﹣m）×260+10200≥10320，

解得，，

又∵m＞10，

∴不合題意，舍去．

綜上所述，0＜m≤8，

即m的取值范圍是0＜m≤8．