Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+2經過點A（m,-2），將點A向右平移7個單位長度，得到點B，拋物線的頂點為C.

（1）求m的值和點B的坐標；

（2）求點C的坐標（用含n的代數式表示）；

（3）若拋物線與線段AB只有一個公共點，結合函數圖象，求n的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）m=－4，B（3，-2）；（2）C（2，1-4n）；（3）n≤或n=或n＞1.

【解析】

（1）根據直線 y=x+2 經過點 A（m,-2）可求點A的坐標，根據平移的性質可求點B的坐標；
（2）將二次函數解析式用配方法變形為頂點式即可求出C點坐標；
（3）結合圖形，分三種情況：①n＞0；②n＜0，③拋物線的頂點在線段BC上；進行討論即可求解．

解：（1）∵直線 y=x+2 經過點 A（m,-2），

∴m+2=-2，

∴m=-4，

∵將點 A（-4，-2） 向右平移7個單位長度，得到點B，

∴B點坐標為（3，-2）

（2），

∴

∴

∴

∴拋物線的頂點為C為（2，1-4n）

（3）又（2）可知拋物線對稱軸為x=2， 頂點C為（2，1-4n），點（3，1-3n）、（-4，1+32n）

當n＜0時，拋物線頂點C為（2，1-4n）、（3，1-3n），在B在拋物線下方，右側無交點，

∴A在拋物線上方，即：1+32n≤-2，

∴n≤

當n＞0時，若拋物線頂點在AB上，如圖：

即1-4n=-2， n=，

當n＞0時，若拋物線頂點在AB下方，而點B在拋物線下方，點A在拋物線下方，

即：，

∴ n＞1

故當n≤或n=或n＞1時，若拋物線與線段AB只有一個公共點，