Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，延長AE交BC的延長線于點F．

（1）求證：△DAE≌△CFE；

（2）若AB＝BC+AD，求證：BE⊥AF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根據E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE；
（2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代換得到AB=BC+CF，即AB=BF，證得△ABE≌△FBE，即可得到結論．

證明：（1）∵AD∥BC（已知），

∴∠ADC＝∠ECF（兩直線平行，內錯角相等），

∵E是CD的中點（已知），

∴DE＝EC（中點的定義）．

∵在△ADE與△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）由（1）知△ADE≌△FCE，

∴AE＝EF，AD＝CF，

∵AB＝BC+AD，

∴AB＝BC+CF，

即AB＝BF，

在△ABE與△FBE中，

，

∴△ABE≌△FBE（SSS），

∴∠AEB＝∠FEB＝90°，

∴BE⊥AF.