Question

【題目】如圖，拋物線y＝+bx+c與x軸交于點A和點B（點A在原點的左側，點B在原點的右側），與y軸交于點C，且OC＝2OA＝2，點D是直線BC下方拋物線上一動點．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）連接AD和BC，AD交BC于點E，當S△ABE：S△BDE＝5：4時，求點D的坐標；

（3）點F為y軸上的一點，在（2）的條件下，求DF+OF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）D（2，﹣3）；（3）

【解析】

（1）OC=2OA=2，則點A、C的坐標分別為：（-1，0）、（0，-2），則c=-2，將點A的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）S△ABE：S△BDE=5：4，則AE：ED=5：4，AM∥HD，則AM：HD=AE：ED=5：4，則HD=2，即可求解；

（3）作一條與y軸夾角為α的直線AH，使tan∠HOF＝＝tanα，則sin，過點D作DH⊥AH交AH于點H，交y軸于點F，則點F為所求點，即可求解．

（1）OC＝2OA＝2，

則點A、C的坐標分別為：（﹣1，0）、（0，﹣2），

則c＝﹣2，

將點A的坐標代入拋物線表達式并解得：b＝﹣，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣2；

（2）由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y＝x﹣2，

S△ABE：S△BDE＝5：4，則AE：ED＝5：4，

分別過點A、D作y軸的平行線分別交BC于點M、H，

∴AM∥HD，當x＝﹣1時，y＝x﹣2＝﹣，

∵AM∥HD，∴AM：HD＝AE：ED＝5：4，

∴HD＝2，

設點D（x， x2﹣x﹣2），則點H（x， x﹣2），

DH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝2，解得：x＝2，

故點D（2，﹣3）；

（3）作一條與y軸夾角為α的直線AH，使tan∠HOF＝＝tanα，則sin，

過點D作DH⊥AH，交AH于點H，交y軸于點F，則點F為所求點，

DF+OF＝FD+HF最小，

過點D作x軸的平行線交y軸于點N，則∠FDN＝α，

則直線FD的表達式為：y＝﹣x+n，

將點D的坐標代入上式并解得：

直線DF的表達式為：y＝﹣x﹣，故點F（0，﹣），

則OF＝，

DF+OF的最小值＝FD+HF＝+×＝．