Question

【題目】如圖，直線y＝3x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3，0）．

（1）求A、B的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（0，3）；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）存在，Q（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．

【解析】

（1）已知一次函數解析式，分別令即可解決.

（2）設出拋物線的一般式，將三點坐標代入用待定系數法即可解決.

（3）拋物線解析式后可得其對稱軸為，可設，此時需要分三種情況討論：，每一種的線段長度用表示出來，列方程求解即可.

解：（1）∵y＝3x+3，

∴當x＝0時，y＝3，

當y＝0時，x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），B（0，3）．

（2）設拋物線的解析式為，由題意，得

，

解得

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3.

（3）∵y＝﹣x2+2x+3，

∴y＝﹣（x﹣1）2+4

∴拋物線的對稱軸為x＝1，設，

（1）當AQ＝BQ時，如圖，

由勾股定理可得

BQ＝，

AQ＝

AQ＝BQ

即，

解得，

∴Q（1，1）；

（2）如圖：

當AB是腰時，Q是對稱軸與x軸交點時，AB＝BQ，

∴

解得：或6，

當Q點的坐標為（1，6）時，其在直線AB上，A、B和Q三點共線，舍去，

則此時Q的坐標是（1，0）；

（3）當AQ＝AB時，如圖：

，

解得，

則Q的坐標是（1，）和（1，﹣）．

綜上所述：Q（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．