Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，∠DAC=∠B．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）點E是AB上一點，若∠BCE=∠B，tan∠B=，⊙O的半徑是4，求EC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CE=5．

【解析】（1）欲證明AC是切線，只要證明AB⊥AC即可；

（2）設EC=EB=x，在Rt△AEC中，利用勾股定理構建方程即可解決問題.

（1）∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵∠DAC=∠B，

∴∠DAC+∠BAD=90°，

∴∠BAC=90°，

∴BA⊥AC，

∴AC是⊙O的切線．

（2）∵∠BCE=∠B，

∴EC=EB，設EC=EB=x，

在Rt△ABC中，tan∠B=，AB=8，

∴AC=4，

在Rt△AEC中，∵EC2=AE2+AC2，

∴x2=（8﹣x）2+42，

解得x=5，

∴CE=5．